sayasofie's blog: "TOPOLOGI ELEMENTER"

Topologi merupakan cabang dari matematika yang mempelajari fungsi kontinu secara umum (abstrak) serta objek-objek yang diawetkan oleh fungsi kontinu tersebut. Topologi modern sebagai bagian dari analisis muncul pada abad ke 20 seiring berkembangnya teori himpunan. Namun sebenarnya topologi telah dirintis sejak tahun 1600-an. Gottfried W. Leibniz (1646-1716) adalah orang pertama yang mengamati bahwa terdapat suatu geometri dimana dalam mempelajarinya posisi merupakan hal yang terpenting.

Topologi dapat dibedakan menjadi tiga cabang utama. Pertama adalah topologi umum (general topology, point-set topology) yang mempelajari konsep-konsep dasar topologi seperti kekompakan, keterhubungan, homeomorfisma secara umum dengan menggunakan teori himpunan. Kedua topologi aljabar (algebraic topology) yang mempelajari konsep homotopi dan homologi yang secara umum terkait derajat keterhubungan dari luasan dengan menggunakan struktur aljabar seperti grup dan modul. Ketiga adalah topologi geometri (geometric topology) yang mempelajari manifold, embedding, serta dimensi topologi.

Ada anekdot yang mengatakan bahwa ahli topologi (topologist) adalah orang yang tidak bisa membedakan donat dengan cangkir. Hal ini maksudnya adalah di dalam topologi donat dan cangkir merupakan objek yang “sama” karena cangkir dapat diperoleh dari donat melalui proses transformasi/deformasi kontinu di dalam ruang topologi. Hal ini tentu saja berbeda dengan geometri klasik yang akan membedakan secara tegas kedua benda tersebut. Oleh karena itu topologi kadang disebut sebagai geometri karet (rubber-sheet geometry) karena sebuah objek dapat diubah menjadi objek lain yang ekuivalen (secara topologi) melalui proses menarik (stretching), membengkokkan (bending), memuntir (twisting), dan yang serupa, tetapi tidak dengan cara merobek (tearing) ataupun memotong (cutting).

Kita telah mengenal dan mempelajari geometri, terdapat beberapa jenis geometri. Tetapi dalam materi ini akan dibahas geometri yang tiak mempermasalahkan kongruensi, kesebangunan, apalagi menunjukkan ukuran panjang, luas, isi atau besar sudut. Geometri inilah yang disebut topologi.

Topologi merupakan salah satu cabang matematika yang lebih mementingkan posisi daripada bentuk dan besarnya. Dalam topologi, sifat-sifat geometri tidak terpengaruh oleh perentangan, pengkerutan, atau pemutaran.

1. Kurva

Kurva merupakan hasil goresan alat tulis pada bidang tulis yang menghasilkan goresan yang kontinu (tidak terputus).

Jenis-jenis Kurva

a. Kurva terbuka sederhana

Jenis kurva ini merupakan lengkungan yang titik awalnya tidak berimpit dengan titik akhirnya dan tidak terdapat titik potong di dalamnya.

b. Kurva terbuka tidak sederhana

Jenis kurva ini merupakan lengkungan yang titik awalnya tidak berimpit dengan titik akhirnya, tetapi memiliki titik potong.

c. Kurva tertutup sederhana

Jenis kurva ini merupakan lengkungan yang titik awalnya berimpit dengan titik akhirnya dan tidak memiliki titik potong.

d. Kurva tertutup tidak sederhana

Jenis kurva ini merupakan lengkungan yang titik awalnya berimpit dengan titik akhirnya dan memiliki titik potong.

2. Ekuivalensi Topologis

Topologi mempelajari sifat-sifat geometri yang tidak terpengaruh oleh peregangan, pengkerutan, atau pemuntiran. Topologi dimulai dengan anggapan bahwa semua benda lentur, dapat berubah bentuknya, besarnya, dan posisinya. Sebuah lembar kecil dapat direnggangkan sehingga bentuknya berubah-ubah.

Perenggangan lebaran karet merupakan sala satu contoh derak yang disebut deformasi. Deformasi merupakan perubahan bentuk dan ukuran suatu bangun dengan tidak memotong, merobek, atau menghimpitkannya. Berarti deformasi tidak dapat merubah sebuah garis menjadi sebuah titik.

Dua buah bangun disebut kongruen jika dua bangun tersebut dapat dibuat berimpit dengan gerak kaku. Jika dua bangun dapat dibuat berimpit dengan gerak homotetis atau gerak kaku, maka dua bangun itu disebut sebangun. Dalam topologi jika dua bangun dapat dibuat berimpit dengan deformasi dan gerak kaku, maka dua bangun itu disebut ekuivalen secara topologis.

Topologi juga merupakan ilmu yang mempelajari sifat bangun geometri yang tetap tidak berubah walaupun digerakkan selama permukaannya tidak dirusak. Hal ini biasanya diilustrasikan dengan menggunakan kertas karet (rubber sheet). Kertas luar kedekatan dan keterpisahannya berubah tetap.